[알고리즘] 서로소 집합(union-find 연산) 정리

 

 

 

코딩 테스트에서 출제 비중이 낮은 편이지만 제대로 알아야 하는 그래프 알고리즘들을 정리해보자 한다. 

 

그래프에 대해 간단히 복습하고 넘어가면, 그래프란 노드와 노드 사이에 연결된 간선의 정보를 가지고 있는 자료구조이다. 알고리즘 문제에서 '서로 다른 개체(객체)가 연결되어 있다'라는 문장을 마주치면 그래프 알고리즘을 가장 먼저 떠올려야 하다. 

 

또한 그래프 자료구조 중 트리 자료구조는 여려 알고리즘에서 사용되므로 꼭 기억해야 한다. 이전에 정리한 알고리즘 중 다익스트라 최단경로 알고리즘에서 우선순위 큐가 사용되었다. 우선순위 큐를 구현하기 위해선 최소 힙이나 최대 힙을 사용한다고 했는데 최소 힙은 항상 부모 노드가 자식 노드보다 크기가 작은 자료구조로서 트리 자료구조에 속한다.

2021.03.22 - [프로그래밍/알고리즘] - [알고리즘] 최단경로 알고리즘 개념정리(다익스트라/플로이드 워셜)

[알고리즘] 최단경로 알고리즘 개념정리(다익스트라/플로이드 워셜)

 

그래프 자료구조와 트리 자료구조를 비교해보면 아래 표와 같다.

	그래프	트리
방향성	방향 그래프 혹은 무방향 그래프	방향 그래프
순환성	순환 및 비순환	비순환
루트 노드 존재 여부	루트 노드 X	루트 노드 O
노드간 관계성	부모, 자식 관계 X	부모, 자식 관계 O
모델의 종류	네트워크 모델	계층 모델

 

또한 그래프 구현 방법에는 2가지 방식이 존재한다.

 

- 인접 행렬(Adjacency Matrix): 2차원 배열 사용

- 인접 리스트(Adjacency List): 리스트 사용

 

2가지 방법 모두 알고리즘에서 많이 사용되며 두 방식은 메모리와 속도 측면에서 구별되는 특징을 갖고 있다.

 

노드의 개수가 V, 간선의 개수가 E인 그래프가 있을 때 메모리와 간선의 비용을 알기 위한 속도는 아래와 같다.

	인접 행렬	인접 리스트
메모리	O(V^2)	O(E)
속도	O(1)	O(V)

 

우선순위 큐를 사용한 다익스트라 최단 경로 알고리즘에선 인접 리스트를 이용하여 V(노드 개수)개의 리스트를 만들어 각 노드와 연결된 모든 간선에 대한 정보를 리스트에 저장하였다.

그에 비해 플로이드 워셜 알고리즘은 인접 행렬을 이용하는 방식이다. 모든 노드에 대해 다른 노드로 가는 최소 비용을 V^2 크기의 2차원 리스트에 저장한 뒤 해당 비용을 갱신해서 최단 거리를 계산하였다.

 

인접 행렬과 인접 리스트는 모두 그래프 알고리즘에서 자주 사용된다. 그러므로 메모리와 속도 측면을 고려해야 하는데, 만약 최단 경로 문제에서 노드의 개수가 적은 경우에는 비교적 구현이 간단한 플로이드 워셜 알고리즘을 쓰고, 노드와 간선의 개수가 모두 많을 경우엔 우선순위 큐를 이용하는 다익스트라 알고리즘을 사용하는 것이 유리하다.

 

여태까지 이전에 정리한 개념들과 엮어가며 그래프에 대해 간단히 정리해봤다. 지금부턴 기타 그래프 알고리즘들(서로소 집합, 신장트리, 위상정렬) 중 서로소 집합에 대해 살펴보자.

 

[서로소 집합]

 

서로소 집합이랑 공통 원소가 없는 두 집합을 의미한다. 예를 들어 A집합의 원소가 {1, 2}, B집합의 원소가 {3, 4}일 때 A 집합과 B집합은 공통 원소가 없으므로 서로소 집합이다.

 

자료구조 중에 서로소 집합 자료구조가 있는데 서로소 집합 자료구조란 서로소 부분 집합들로 나누어진 원소들의 데이터를 처리하기 위한 자료구조이다. 서로소 집합 자료구조는 union과 find 2개의 연산으로 조작할 수 있다.

 

union(합집합) 연산은 2개의 원소가 포함된 집합을 하나의 집합으로 합치는 연산이다. find(찾기) 연산은 특정한 원소가 속한 집합이 어떤 집합인지 알려주는 연산이다. 그렇기에 서로소 집합 자료구조는 union-find 자료구조라고 불리기도 한다. 

 

서로소 집합 자료구조를 구현할 떄는 트리 자료구조를 이용하여 집합을 표현하고, 알고리즘은 다음과 같다.

 

1. union(합집합) 연산을 확인하여, 서로 연결된 두 노드 A, B를 확인한다.

     i) A와 B의 루트 노드 A', B'를 각각 찾는다.

     ii) A'를 B'의 부모 노드로 설정한다. (B'가 A'를 가리키도록 한다.)

 

2. 모든 union(합집합) 연산을 처리할 때까지 1번 과정을 반복한다.

 

실제로 구현할 땐 A'와 B' 중 더 번호가 작은 원소가 부모 노드가 되도록 구현하는 경우가 많다. 여기서 B'가 A'를 부모 노드로 설정한다는 것을 그래프로 시각화하면 B'와 A'를 간선으로 연결하는 형태이다.

 

알고리즘을 코드로 구현하면 아래와 같다.

 

# 특정 원소가 속한 집합을 찾기

def find_parent(parent, x):
	# 루트 노드가 아니라면, 루트 노드 찾을 때까지 재귀적으로 호출
    if parent[x] != x:
    	return find_parent(parent, parent[x])
    return x
    
# 두 원소가 속한 집합을 합치기
def union_parent(parent, a, b):
	a = find_parent(parent, a)
    b = find_parent(parent, b)
    if a < b:
    	parent[b] = a
    else:
    	parent[a] = b
   
# 노드의 갯와 간선(union 연산)의 개수 입력받기
v, e = map(int, input().split())
parent = [0] * (v+1) # 부모 테이블 초기화

# 부모 테이블 상에서, 부모를 자기 자신으로 초기화
for i in range(1, v+1):
	parent[i] = i

# union 연산을 각각 수행
for i in range(e):
	a, b = map(int, input().split())
    union_parent(parent, a, b)

# 각 원소가 속한 집합 출력
print("각 원소가 속한 집합: ", end=' ')
for i in range(1, v+1):
	print(find_parent(parent, i), end= ' ')
    
print()

# 부모 테이블 내용 출력
print('부모 테이블: ', end=' ')
for i in range(1, v+1):
	print(parent[i], end=' ')

 

위 코드처럼 구현하면 답을 구할 수는 있지만, find 함수가 비효율적으로 동작한다. 최악의 경우 find 함수가 모든 노드를 다 확인해야 하여 시간 복잡도가 O(V)가 될 수 있다. 이러한 find 함수는 경로 압축(Path Compression) 기법을 적용하면 시간 복잡도를 개선시킬 수 있다. 경로 압축은 find 함수를 재귀적으로 호출한 뒤에 보무 테이블 값을 갱신하는 기법이다.

 

# 경로 압축 기법을 이용한 find 함수
def find_parent(parent, x):
	if parent[x] != x:
    	parent[x] = find_parent(parent, parent[x])
    return parent[x]
    
'''
기존의 find 함수

def find_parent(parent, x):
	# 루트 노드가 아니라면, 루트 노드 찾을 때까지 재귀적으로 호출
    if parent[x] != x:
    	return find_parent(parent, parent[x])
    return x
'''

 

경로 압축 기법을 이용하여 find 함수를 수정하면 각 노드에 대하여 find 함수를 호출한 이후에, 해당 노드의 루트 노드가 바로 부모 노드가 된다. 

 

그렇기에 경로 압축 기법 find 함수를 이용한 개선된 서로소 집합 알고리즘 코드는 다음과 같다.

 

# 개선된 서로소 집합 알고리즘


# 경로 압축 기법을 이용한 find 함수
def find_parent(parent, x):
	if parent[x] != x:
    	parent[x] = find_parent(parent, parent[x])
    return parent[x]
    
# 두 원소가 속한 집합을 합치기
def union_parent(parent, a, b):
	a = find_parent(parent, a)
    b = find_parent(parent, b)
    if a < b:
    	parent[b] = a
    else:
    	parent[a] = b
   
# 노드의 갯와 간선(union 연산)의 개수 입력받기
v, e = map(int, input().split())
parent = [0] * (v+1) # 부모 테이블 초기화

# 부모 테이블 상에서, 부모를 자기 자신으로 초기화
for i in range(1, v+1):
	parent[i] = i

# union 연산을 각각 수행
for i in range(e):
	a, b = map(int, input().split())
    union_parent(parent, a, b)

# 각 원소가 속한 집합 출력
print("각 원소가 속한 집합: ", end=' ')
for i in range(1, v+1):
	print(find_parent(parent, i), end= ' ')
    
print()

# 부모 테이블 내용 출력
print('부모 테이블: ', end=' ')
for i in range(1, v+1):
	print(parent[i], end=' ')

 

 

경로 압축 기법을 이용한 서로소 집합 알고리즘의 시간 복잡도를 알아보자.

노드의 개수가 V개이고, 최대 V-1개의 union 연산과 M개의 find 연산이 가능할 때 경로 압축 방법의 시간 복잡도는 O(V + M(1+log_(2-M/V)(V)))이다. 시간복잡도 자체를 외우기 보단 경로 압축 기법을 사용하면 시간 복잡도가 줄어든다는 정도만 이해하자..

 

서로소 집합은 다양한 알고리즘에서 사용될 수 있다. 특히 무방향 그래프 내에서의 사이클을 판별할 때 사용할 수 있다. (방향 그래프일 경우의 사이클 판단은 DFS를 이용하면 알 수 있다.) 알고리즘은 다음과 같다.

 

1. 간선을 확인하며 두 노드의 루트 노드를 확인한다.

     i) 루트 노드가 서로 다르다면 두 노드에 대하여 union 연산을 수행한다.

     ii) 루트 노드가 서로 같다면 사이클(Cycle)이 발생한 것이다.

2. 그래프의 모든 간선에 대하여 1번 과정을 반복한다.

 

# 서로소 집합을 활용한 사이클 판별 구현

# 특정 원소가 속한 집합 찾기(경로압축 ver)
def find_parent(parent, x):
	if parent[x] != x:
    	parent[x] = find_parent(parent, parent[x])
    return parent[x]
    
# 두 원소가 속한 집합을 합치기
def union_parent(parent, a, b):
	a = find_parent(parent, a)
    b = find_parent(parent, b)
    if a < b:
    	parent[b] = a
    else:
    	parent[a] = b
   
# 노드의 개수와 간선(union 연산)의 개수 입력받기
v, e = map(int, input().split())
parent = [0] * (v+1) # 부모 테이블 초기화

# 부모 테이블 상에서, 부모를 자기 자신으로 초기화
for i in range(1, v+1):
	parent[i] = i
    
cycle = False # 사이클 발생 여부

# union 연산을 각각 수행
for i in range(e):
	a, b = map(int, input().split())
    # 사이클이 발생한 경우 종료
    if find_parent(parent, a) == find_parent(parent, b):
    	cycle = True
        break
    # 사이클이 발생하지 않았다면 합집합(union) 수행
    else:
    	union_parent(parent, a, b)

# 결과 출력
if cycle:
	print("사이클이 발생했습니다.")
else:
	print("사이클이 발생하지 않았습니다.")