[알고리즘] 신장트리(Spanning Tree), 최소 신장 트리(MST, Minimum Spanning Tree), 크루스칼 알고리즘(Kruskal Alogirthm) 개념 정리

 

 

신장 트리(Spanning Tree)는 그래프 알고리즘 문제로 자주 출제되는 유형으로, 신장트리란 하나의 그래프가 있을 때 모든 노드를 포함하면서 사이클이 존재하지 않는 부분 그래프이다. 모든 노드가 포함되어 서로 연결되면서 사이클이 존재하지 않는 다는 조건은 트리의 조건이기도 한다. 그리하여 이런 그래프를 신장 트리라고 부르는 것이다. 

 

[크루스칼 알고리즘] 

 

문제 상황에서 가능한 최소한의 비용으로 신장 트리를 찾아야 할 때가 있다. 신장 트리 중에서 최소 비용으로 만들 수 있는 트리를 찾는 알고리즘을 '최소 신장 트리 알고리즘'이라고 한다. 대표적인 최소 신장 트리 알고리즘으로 크루스칼 알고리즘이 있다. 

 

크루스칼 알고리즘은 그리디 알고리즘으로 분류되며 알고리즘은 다음과 같다.

 

1. 간선 데이터를 비용에 따라 오름차순으로 정렬

2. 간선을 하나씩 확인하며 현재의 간선이 사이클을 발생시키는지 확인

     i) 사이클이 발생하지 않는 경우, 최소 신장 트리에 포함시킨다.

     ii) 사이클이 발생하는 경우, 최소 신장 트리에 포함시키지 않는다.

3. 모든 간선에 대하여 2번의 과정을 반복

 

즉 크루스칼 알고리즘의 핵심 원리는 '가장 거리가 짧은 간선부터 차례대로 집합에 추가'하는 것이다. 사이클을 발생시키는 간선은 제외하고 말이다. 여기서 집합에 추가시킨 다는 것은 두 노드를 같은 집합에 속하도록 하기 위해 union 함수를 수행하는 것이다.

 

# 특정 원소가 속한 집합 찾기 (find 연산)
def find_parent(parent, x):
	# 루트 노드가 아니라면, 루트 노드를 찾을 때까지 재귀적으로 호출
    if parent[x] != x :
    	parent[x] = find_parent(parent, parent[x])
    return parent[x]
    
# 두 원소가 속한 집합을 합치기 (union 연산)
def union_parent(parent, a, b):
	a = find_parent(parent, a)
    b = find_parent(parent, b)
    if a < b:
    	parent[b] = a
    else:
    	parent[a] = b
        
# 노드의 개수와 간선(union 연산)의 개수 입력받기
v, e = map(int, input().split())
parent = [0] * (v+1) # 부모 테이블 초기화

# 모든 간선을 담을 리스트와 최종 비용을 담을 변수
edges = []
result = 0

# 부모 테이블에서 부모를 자기 자신으로 초기화
for i in range(1, n+1):
	parent[i] = i
# 모든 간선에 대한 정보 입력받기
for _ in range(e):
	a, b, cost = map(int, input().split())
    # 비용 순으로 정렬하기 위해 튜플의 첫 번쨰 원소를 비용으로 설정
    edges.append((cost, a, b))
    
# 간선을 비용순으로 정렬
edges.sort()

# 간선을 하나씩 확인하며
for edge in edges:
	cost, a, b = edge
    # 사이클이 발생하지 않는 경우에만 집합에 포함
    if find_parent(parent, a) != find_parent(parent, b):
    	union_parent(parent, a, b)
        result += cost
        
print(result)

 

 

크루스칼 알고리즘은 간선의 개수가 E개일 때, O(ElogE)의 시간복잡도를 가진다. 크루스칼 알고리즘 중 가장 시간이 많이 소요되는 부분은 간선을 정렬하는 부분으로 E개의 데이터를 정렬할 때의 시간 복잡도가 O(ElogE)이기 때문이다.