[알고리즘] 위상 정렬(Topology Sort), 진입차수(Indegree) 개념 정리

 

 

위상 정렬은 정렬 알고리즘의 일종으로 '방향 그래프의 모든 노드를 방향성에 거스르지 않도록 순서대로 나열하는 것'이다. 순서가 정해져 있는 일련의 작업을 차례대로 수행해야 할 때 사용할 수 있는 알고리즘이다.

 

위상 정렬 알고리즘을 살펴보기 전에 진입차수(Indegree)에 대해 알아야 한다. 진입차수란 특정한 노드로 "들어오는" 간선의 개수이다. 이제 위상 정렬의 알고리즘을 살펴보면 다음과 같다.

 

1. 진입차수가 0인 노드를 큐에 넣는다.

2. 큐가 빌 때까지 다음의 과정을 반복한다.

     i) 큐에서 원소를 꺼내 해당 노드에서 출발하는 간선을 그래프에서 제거

     ii) 새롭게 진입차수가 0이 된 노드를 큐에 넣는다.

 

큐가 빌 때까지 계속 큐에서 원소를 꺼내서 처리하는 과정을 반복한다. 만약 이때 모든 원소를 방문하기 전에 큐가 빈다면 사이클이 존재하는 것이다. 즉 큐에서 원소가 V번 추출되기 전에 큐가 비면 사이클이 발생했다고 판단할 수 있다. 사이클이 존재하는 경우에는 사이클에 포함되어 있는 원소들 중 어떤 것도 큐에 들어가지 못하기 때문이다. 물론 기본적인 위상 정렬 문제에선 사이클이 발생하지 않는다고 명시해주는 경우가 더 많긴 하다. 

 

# 위상 정렬
from collections import deque

# 노드, 간선 개수 입력받기
v, e = map(int, input().split())
# 모든 노드에 대한 진입차수는 0으로 초기화
indegree = [0] * (v+1)
# 각 노드에 연결된 간선 정보를 담기 위한 연결 리스트 초기화
graph = [[] for i in range(v+1)]

# 방향 그래프의 모든 간선 정보 입력 받기
for _ in range(e):
	a, b, = map(int, input().split())
    graph[a].append(b) # 정점 A에서 B로 이동 가능
    # 진입차수 1 증가
    indegree[b] += 1
    
# 위상 정렬 함수
def topology_sort():
	result = [] # 알고리즘 수행 결과를 담을 리스트
    q = deque() # 큐 기능을 위한 deque 라이브러리 사용
    
    # 처음 시작할 때는 진입차수가 0인 노드를 큐에 삽입
    for i in range(1, v+1):
    	if indegree[i] == 0:
        	q.append(i)
            
    # 큐가 빌 때까지 반복
    while q:
    	# 큐에서 원소 꺼내기
        now = q.popleft()
        result.append(now)
        # 해당 원소와 연결된 노드들의 진입차수에서 1 빼기
        for i in graph[now]:
        	indegree[i] -= 1
            # 새롭게 진입차수가 0인 된 노드를 큐에 삽입
            if indegree[i] == 0:
            	q.append(i)
                
# 위상 정렬을 수행한 결과 출력
for i in result:
	print(i, end=' ')
    
topology_sort()

 

위상 정렬의 시간 복잡도는 O(V+E)이다. 위상 정렬을 수행할 때 차례대로 모든 노드를 다 확인하면서, 해당 노드에서 출발하는 간선을 차례대로 제거해야 한다. 그렇기에 노드와 간선을 모두 확인해야 한다는 면에서 O(V+E)의 시간이 소요되는 것이다.