[알고리즘] 최단경로 알고리즘 개념정리(다익스트라/플로이드 워셜)

최단경로 알고리즘은 가장 짧은 경로를 찾는 알고리즘으로 다양한 종류의 알고리즘 유형이 있는데 상황에 맞는 효율적인 알고리즘은 정립되어 있다.

 

그 중 코딩테스트에 자주 출제되는 다익스트라 최단 경로와 플로이드 워셜 알고리즘이 있는데 이에 대해 정리해봤다.

 

[다익스트라 최단 경로 알고리즘]

 

다익스트라(Dijkstra) 최단경로 알고리즘은 그래프에서 여러 개의 노드가 있을 때, 특정한 노드에서 출발하여 다른 노드로 가는 각각의 최단 경로를 구해주는 알고리즘이다. 다익스트라 최단 경로 알고리즘은 음의 간선(0보다 작은 값을 가지는 간선)이 없을 때 정상적으로 동작한다.

 

다익스트라 최단 경로 알고리즘은 기본적으로 그리디 알고리즘으로 분류된다. 매번 가장 비용이 적은 노드를 선택해서 임의의 과정을 반복하기 때문이다. 알고리즘의 원리는 아래와 같다.

 

1. 출발 노드 설정

2. 최단 거리 테이블 초기화

3. 방문하지 않은 노드 중 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택

4. 해당 노드를 거쳐 다른 노드로 가는 비용을 계산하여 최단 거리 테이블 갱신

5. 3~4번 과정 반복

 

위의 원리를 보면 알 수 있지만 다익스트라 알고리즘은 최단 경로를 구하는 과정에서 '각 노드에 대한 현재까지의 최대 거리' 정보를 항상 1차원 리스트에 저장하며 리스트를 계속 갱신한다는 특징이 있다. 이러한 1차원 리스트가 위의 과정의 최단 거리 테이블이다. 

 

다익스트라는 2가지의 구현방법이 있다. 한 가지는 알고리즘을 그대로 구현하는 간단한 방법이고, 다른 한 가지는 구현하기에 조금 까다롭지만 빠른 방법이다.

 

우선 첫번째인 간단한 다익스트라 알고리즘부터 살펴보자.

 

1. 간단한 다익스트라 알고리즘

 

알고리즘을 그대로 구현한 다익스트라 알고리즘은 O(V^2)의 시간복잡도를 가진다. 여기서 V는 노드(Vertex)의 개수이다. 이 알고리즘은 직관적이며 쉽게 이해할 수 있다. 

처음에 각 노드에 대한 최단 거리를 담는 1차원 리스트를 선언한다. 그후, 단계마다 "방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택"하기 위해 매 단계마다 1차원 리스트의 모든 원소를 확인한다. 또한 DFS/BFS 때와 마찬가지로 리스트를 할당할 때 (V+1) 만큼의 크기로 할당하였으며 노드의 번호를 인덱스로 하여 바로 리스트에 접근할 수 있도록 했다. 그래프를 표현할 때 많이 사용되는 코드 작성법이므로 기억하면 좋다.

#간단한 다익스트라 알고리즘

import sys
input = sys.stdin.readline
INF = int(1e9) # 무한으로 10억 설정

# 노드, 간선 개수 입력
n, m = map(int, input().split())
# 시작 노드 번호 입력
start = int(input())
# 각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 리스트 만들기
graph = [[] for i in range(n+1)]
#방문한 적이 있는지 체크하는 리스트 만들기
visited = [False] * (n+1)
# 최단 거리 테이블 모두 무한으로 초기화
distance = [INF] * (n+1)

# 모든 간선 정보 입력받기
for _ in range(m):
	a, b, c = map(int, input().split())
    # a번 노드에서 b번 노드로 가는 비용이 c
    graph[a].append((b, c))
    
# 방문하지 않은 노드 중에서, 가장 최단 거리가 짧은 노드의 번호를 반환
def get_smallest_node():
	min_value = INF
    index = 0 # 가장 최단 거리가 짧은 노드(인덱스)
    for i in range(1, n+1):
    	if distance[i] < min_value and not visited[i]:
        	min_value = distance[i]
            index = i
    return index
    
def dijkstra(start):
	# 시작 노드에 대해서 초기화
    distance[start] = 0
    visited[start] = True
    for j in graph[start]:
    distance[j[0]] = j[1]
    # 시작 노드를 제외한 전체 n-1 개의 노드에 대해 반복
    for i in range(n-1):
    # 현재 최단 거리가 가장 짧은 노드를 꺼내서, 방문 처리
    now = get_smallest_node()
    visited[now] = True
    # 현재 노드와 연결된 다른 노드를 확인
    for j in graph[now]:
    	cost = distance[now] + j[1]
        # 현재 노드를 거쳐서 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
        if cost < distance[j[0]]:
        	distance[j[0]] = cost
            
# 다익스트라 알고리즘 수행
dijkstra(start)

# 모든 노드로 가기 위한 최단 거리를 출력
for i in range(1, n+1):
	# 도달할 수 없는 경우, 무한이라고 출력
    if distance[i] == INF:
    	print("INFINITY")
    else:
    	print(distance[i])
        
  

 

위의 알고리즘의 시간 복잡도는 O(V^2)이다. 총 O(V)번에 걸쳐 최단 거리가 가장 짧은 노드를 매번 선형탐색해야 하고, 현재 노드와 연결된 노드를 매번 하나하나 확인해야 하기 때문이다. 그렇기에 노드의 개수 및 간선의 개수가 많을 때는(노드의 개수가 10,000개 이상일 경우. 5,000개 이하일 땐 일반적인 방식 사용해도 괜찮음.) 아래의 개선된 다익스트라 알고리즘을 사용해야 한다.

 

 

2. 개선된 다익스트라 알고리즘

 

개선된 다익스트라 알고리즘을 사용하면 최악의 경우에도 시간복잡도 O(ElogV)를 보장한다. V는 노드의 개수이고, E는 간선의 개수이다. 

 

기존의 간단한 다익스트라 알고리즘은 '최단 거리가 가장 짧은 노드'를 찾기 위해, 매번 최단 거리 테이블을 앞에서부터 하나씩 원소를 탐색해야 했다. 최단 거리가 가장 짧은 노드를 찾을 때 단순히 선형적으로 찾는 것이 아닌 힙 자료 구조를 이용한다. 힙 자료구조를 이용하게 되면 특정 노드까지의 최단거리에 대한 정보를 힙에 담아서 처리하므로 출발 노드로부터 가장 거리가 짧은 노드를 더욱 빨리 찾을 수 있다. 힙 자료구조를 이용하면 선형 시간이 아닌 로그 시간이 걸린다.

 

힙 자료구조에 대해 간단히 짚고 넘어가자. 힙 자료 구조는 우선순위 큐(Priority Queue)를 구현하기 위해 사용하는 자료구조 중 하나이다.

 

우선순위 큐는 "우선순위가 가장 높은 데이터를 가장 먼저 삭제"하는 것으로 (가치, 물건)과 같은 두개의 변수를 한 쌍으로 묶어 큐에 삽입한다. 일반적으로 첫번째 원소를 기준으로 우선순위를 설정하기 때문에 첫번째 원소에 가치를 넣는다. 

 

파이썬에서는 우선순위 큐가 필요할 때 PriorityQueue, heapq 라이브러리를 사용하면 된다. 일반적으로 heapq가 더 빠르게 동작한다. 

 

또한 우선순위 큐를 구현할 때는 내부적으로 최소 힙(Min Heap) 혹은 최대 힙(Max Heap)을 이용한다. 

최소 힙의 경우 "값이 낮은 데이터가 먼저 삭제" 되며, 최대 힙의 경우 "값이 큰 데이터가 먼저 삭제"가 된다. 파이썬 라이브러리에서는 기본적으로 최소 힙 구조를 이용하는데 다익스트라 알고리즘의 경우 비용이 적은 노드를 우선시하며 방문하므로 상황에 적합하다.

 

또한 최소 힙을 최대 힙처럼 사용하기 위해 일부러 우선순위에 음수 부호를 넣었다가, 나중에 우선순위 큐에서 꺼내고 나서 음수 부호를 다시 붙여 원래의 값으로 되돌리는 방식을 사용할 수도 있다. 이러한 스킬은 코딩 테스트 환경에서 자주 사용되기 때문에 기억해두면 좋다.

 

우선순위 큐를 구현할 때 꼭 힙 자료구조가 아닌 리스트를 이용하여 구현할 수도 있다. 데이터의 개수가 N개일 때, 구현 방식에 따라 시간 복잡도는 다음과 같다.

 

 

힙 - 삽입 시간 O(logN)/ 삭제 시간 O(logN)

리스트 -  삽입 시간 O(1)/ 삭제시간 O(N)

 

 

힙을 이용하여 N개의 데이터를 모두 삽입한 뒤 다시 꺼낼 경우 N*logN + N*logN으로 빅오 표기법에 의하면 O(NlogN)의 시간복잡도를 가진다.

 

리스트의 경우 N+ N*N 으로 빅오 표기법에 의하면 O(N^2)이다. 

 

위의 시간복잡도를 통해 알수 있듯이 힙을 이용하여 우선순위 큐를 구현하는 것이 더 빠르게 동작한다. 

 

여태까지 힙과 우선순위 큐에 대해 이야기한 것을 정리하면 다음과 같다.

 

- 최소 힙은 '가장 값이 작은 원소'를 추출

- 파이썬의 우선순위 큐 라이브러리는 최소 힙 기반

- 그렇기에 파이썬의 우선순위 큐 라이브러리는 최소 비용 노드를 탐색하는 다익스트라 알고리즘에 적합

 

이제 이러한 우선순위 큐가 "현재 가장 가까운 노드를 저장하기 위한 목적"으로 다익스트라 알고리즘에 사용되는 것이다. 나머지는 기본적인 다익스트라 알고리즘과 구현 방식이 동일하다.

간단한 다익스트라 알고리즘 코드에서 get_smallest_node()라는 함수를 작성할 필요가 없다. 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택하는 과정을 다익스트라 최단 경로 함수 안에서 우선순위 큐를 이용해 대체할 수 있기 때문이다.

 

# 우선순위 큐를 이용하여 개선된 다익스트라 알고리즘

import heapq
import sys
input = sys.stdin.realine
INF = int(1e9)

# 노드, 간선 개수 입력
n, m = map(int, input().split())
# 시작노드 번호 입력
start = int(input())
# 각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 리슽트 만들기
graph = [[] for i in range(n+1)]
# 최단거리 테이블 모두 무한으로 초기화
distance = [INF] * (n+1)

# 모든 간선 정보 입력받기
for _ in range(m):
	a, b, c = map(int, input().split())
    # a번 노드에서 b번 노드까지 비용 c 소요
    graph[a].append((b,c))
    
def dijkstra(start):
	q = []
    # 시작 노드로 가기 위한 최단 경로는 0으로 설정하여 큐에 삽입
    heapq.heqppush(q, (0, start))
    distance[start] = 0
    while q: # 큐가 비어있지 않다면
    	# 가장 최단 거리가 짧은 노드에 대한 정보 꺼내기
        dist, now = heapq.heappop(q)
        # 현재 노드가 이미 처리된 적이 있는 노드라면 무시
        if distance[now] < dist:
        	continue
        # 현재 노드와 연결된 다른 인접한 노드들을 확인
        for i in graph[now]:
        	cost = dist + i[1]
            # 현재 노드를 거쳐서, 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
            if cost < distance[i[0]]:
            	distance[i[0]] = cost
                heapq.heappush(q, (cost, i[0]))
                
# 다익스트라 알고리즘 수행
dijkstra(start)

# 모든 노드로 가기 위한 최단 거리 출력
for i in range(1, n+1):
	# 도달할 수 없는 경우, 무한 출력
    if distance[i] == INF:
    	print("INFINITY")
    else:
    	print(distance[i])

 

 

우선순위 큐를 이용하여 개선된 다익스트라 알고리즘의 시간 복잡도는 O(ElogV)로 일반적인 다익스트라 알고리즘의 시간복잡도 O(V^2)보다 훨씬 빠르다. 

 

 

 

[플로이드 워셜 알고리즘]

 

다익스트라 알고리즘의 경우 '한 지점에서 다른 특정 지점까지의 최단 경로'를 구해야 할 때 사용할 수 있었다. 플로이드 워셜 알고리즘의 경우는 다익스트라와 달리 '모든 지점에서 다른 모든 지점까지의 최단 경로를 모두 구해야 하는 경우'에 사용할 수 있는 알고리즘이다.

 

다익스트라 알고리즘의 경우 매 단계마다 최단 거리를 가지는 노드를 하나씩 반복적으로 선택하였다. 그러고 나서 해당 노드를 거쳐 지나가는 경로를 확인한 뒤 최단 거리 테이블을 갱신하는 방식으로 동작하였다. 플로이드 워셜 알고리즘의 경우 매 단계마다 '거쳐 가는 노드'를 기준으로 알고리즘으로 수행한다. 다만 매 단계마다 방문하지 않은 노드 중 최단 거리를 갖는 노드를 찾을 필요가 없다는 것이 다른 점이다. 

 

다익스트라의 경우 출발 노드가 한 지점으로 정해졌기 때문에 최단 거리 테이블로 1차원 리스트를 사용했었다. 하지만 플로이드 워셜은 모든 지점에서 시작하므로 2차원 리스트를 최단거리 테이블로 사용한다. 매 단계마다 2차원 리스트를 처리해야 하므로 N단계에서 매번 O(N^2)의 시간이 소요되므로 플로이드 워셜의 시간 복잡도는 O(N^3)이다.

 

또한 다익스트라 알고리즘은 그리디 방식인데 플로이드 워셜 알고리즘은 다이나믹 프로그램이다. a 노드에서 b 노드로 가는 최단거리를 구하고 싶을 때 플로이드 워셜의 점화식은 다음과 같다.

 

D_ab = min(D_ab, D_ak + D_kb) 

 

여기서 k는 a에서 b로 가는데 중간에 거쳐 지나가는 노드 번호이다.

 

플로이드 워셜 알고리즘의 소스코드는 아래와 같다.

 

# 플로이드 워셜 알고리즘

INF = int(1e9) # 무한

# 노드, 간선 개수 입력받기
n, m = map(int, input().split())

# 2차원 리스트 만들고, 전부 무한으로 초기화
graph = [[INF]* (n+1) for _ in range(n+1)]

# 자기 자신에서 자기 자신으로 가는 비용은 0으로 초기화
for a in range(1, n+1):
	for b in range(1, n+1):
    	if a == b:
        	graph[a][b] = 0
            
# 각 간선에 대한 정보를 입력받가, 그 값으로 초기화
for _ in range(m):
	# A에서 B로 가는 비용 C
    a, b, c = map(int, input().split())
    graph[a][b] = c
    
# 점화식에 따라 플로이드 워셜 알고리즘 수행
for k in range(1, n+1):
	for a in range(1, n+1):
    	for b in range(1, n+1):
        	graph[a][b] = min(graph[a][b], graph[a][k] + graph[k][b])
            
# 수행된 결과 출력
for a in range(1, n+1):
	for b in range(1, n+1):
    	# 도달할 수 없는 경우 무한 출력
        if graph[a][b] == INF:
        	print("INFINITY", end =' ')
        else:
        	print(graph[a][b], end=' ')
    print()